Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8 класса - сложность 2 с решениями

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>B</i>₁<i>H</i> – высота треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.

Докажите, что все восемь отрезков равны.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>A</i>₁ симметрична вершине <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>, а точка <i>C</i>₁ симметрична вершине <i>C</i> относительно прямой <i>AB</i>.

Докажите, что если точки <i>A</i>₁, <i>B</i> и <i>C</i>₁ лежат на одной прямой и  <i>C</i>₁<i>B</i> = 2<i>A</i>₁<i>B</i>,  то угол <i>CA</i>₁<i>B</i> – прямой.

Пусть <i>ABCD</i> – четырёхугольник с параллельными сторонами <i>AD</i> и <i>BC; M</i> и <i>N</i> – середины его сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Прямая <i>MN</i> делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – параллелограмм.