Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 5-7 класса - сложность 2-4 с решениями
В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.
В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?
В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>A</i><sub>1</sub> симметрична вершине <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>, а точка <i>C</i><sub>1</sub> симметрична вершине <i>C</i> относительно прямой <i>AB</i>.
Докажите, что если точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i> и <i>C</i><sub>1</sub> лежат на одной прямой и <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i> = 2<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i>, то угол <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i> – прямой.
Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.