Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>B</i>₁<i>H</i> – высота треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.

Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.

Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.

Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Высота четырехугольной пирамиды<i> SABCD </i>проходит через точку пересечения диагоналей ее основания<i> ABCD </i>. Из вершин основания опущены перпендикуляры<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1на прямые<i> SC </i>,<i> SD </i>,<i> SA </i>и<i> SB </i>соответственно. Оказалось, что точки<i> S </i>,<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1,<i> D</i>1различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1проходят через одну точку.

Длины сторон многоугольника равны  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>.  Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) таков, что  <i>f</i>(<i>a</i>₁) = <i>f</i>(<i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i>).

Докажите, что если <i>A</i> – сумма длин нескольких сторон многоугольника, <i>B</i> – сумма длин остальных его сторон, то  <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>f</i>(<i>B</i>).

Существуют ли выпуклая<i> n </i>-угольная (<i> n<img src="/storage/problem-media/109911/problem_109911_img_2.gif"> </i>4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла<i> n </i>-угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.

Докажите, что числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif">  также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из натуральных чисел, <i> полным</i>, если для любых натуральных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых  <i>a + b</i>  лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества натуральных чисел.

Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.