Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 8 класса
Планиметрия
НазадДан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором ∠<i>B</i> = 120°. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.
Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116897/problem_116897_img_2.gif"></div>
В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы <i>BB'</i> и <i>CC'</i>, а затем стёрли весь рисунок, кроме точек <i>A, B'</i> и <i>C'</i>.
Восстановите треугольник <i>ABC</i> при помощи циркуля и линейки.
Точка <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> остроугольного равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>N</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>BC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i> и проходящая через точку <i>N</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>. Найдите угол <i>AKC</i>.
Точка <i>K</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i> прямоугольного треугольника <i>АВС</i>. На катетах <i>АС</i> и <i>ВС</i> выбраны точки <i>М</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>МKN</i> – прямой. Докажите, что из отрезков <i>АМ, ВN</i> и <i>MN</i> можно составить прямоугольный треугольник.
В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>BC</i> в два раза меньше основания <i>AD</i>. Из вершины <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>. Докажите, что <i>СЕ = CD</i>.
Через концы основания <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> провели окружность, которая пересекла боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Известно, что точка <i>T</i> пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>DM</i> также лежит на этой окружности. Докажите, что <i>TB</i> = <i>TC</i>.
В параллелограмме <i>ABCD</i> диагональ <i>АС</i> в два раза больше стороны <i>АВ</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что ∠<i>KDB</i> = ∠<i>BDA</i>.
Найдите отношение <i>BK</i> : <i>KC</i>.
а) Внутри окружности находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2<i>n</i>-угольник (<i>n</i> > 2), его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины 2<i>n</i>-угольника, высекают 2<i>n</i> точек на окружности. 2<i>n</i>-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2<i>n</i> новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2<i>n</i> точек....
Дан треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>I</i> – центр его вписанной окружности, и пусть <i>X, Y, Z</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AIB, BIC</i> и <i>AIC</i> соответственно. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника <i>XYZ</i> совпадает с <i>I</i>. Обязательно ли тогда треугольник <i>ABC</i> равносторонний?
Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.
Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.
Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.
На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку. Могло ли у получившейся фигуры оказаться четыре оси симметрии?
Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр.
Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше чем 2,5 метра?
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и высота <i>BE</i>. Докажите, что ∠<i>CED</i> > 45°.
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая, пересекающая отрезок <i>PQ</i>, последовательно пересекает эти окружности в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>.
Докажите, что ∠<i>APB</i> = ∠<i>CQD</i>.
Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника?
Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.
Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I<sub>A</sub></i>, <i>I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II<sub>A</sub>I<sub>C</sub></i>. Докажите, что <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?
В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и <i>AB = BC = BD</i>. Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.
На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>BK = KL = LC</i>, а на стороне <i>АС</i> отмечена точка <i>М</i> так,
что <i>АМ</i> = ⅓ <i>AC</i>. Найдите сумму углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i>.
В прямоугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Р</i> – середина стороны <i>АВ</i>, а точка <i>Q</i> – основание перпендикуляра, опушенного из вершины <i>С</i> на <i>PD</i>.
Докажите, что <i>BQ = BC</i>.