Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Периметр треугольника <i>ABC</i> равен 4. На лучах <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> так, что  <i>AX = AY</i> = 1.  Отрезки <i>BC</i> и <i>XY</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что периметр одного из треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> равен 2.

Пусть <i>ABC</i> – правильный треугольник. На его стороне <i>AC</i> выбрана точка <i>T</i>, а на дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> его описанной окружности выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>MT || BC</i>  и  <i>NT || AB</i>.  Отрезки <i>AN</i> и <i>MT</i> пересекаются в точке <i>X</i>, а отрезки <i>CM</i> и <i>NT</i> – в точке <i>Y</i>. Докажите, что периметры многоугольников <i>AXYC</i> и <i>XMBNY</i> равны.

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через вершину <i>B</i> и центр <i>O</i> его описанной окружности, вторично пересекает стороны <i>BC</i> и <i>BA</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>POQ</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

Выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> таков, что  <i>AB</i>·<i>CD</i> = <i>AD</i>·<i>BC</i>.  Докажите, что –∠<i>BAC</i> + ∠<i>CBD</i> + ∠<i>DCA</i> + ∠<i>ADB</i> = 180°.

В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>CD</i> перпендикулярна основаниям, <i>O</i> – точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника <i>OCD</i> взята точка <i>S</i>, диаметрально противоположная точке <i>O</i>. Докажите, что  ∠<i>BSC</i> = ∠<i>ASD</i>.

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точка <i>C</i>₁ симметрична <i>C</i> относительно <i>O</i>, <i>D</i> – середина стороны <i>AB</i>, <i>K</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ODC</i>₁. Докажите, что точка <i>O</i> делит пополам отрезок прямой <i>OK</i>, лежащий внутри угла <i>ACB</i>.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> = 2<i>KC</i>  и  ∠<i>ABK</i> = 2∠<i>KBC</i>.  <i>F</i> – середина стороны <i>AC, L</i> – проекция точки <i>A</i> на <i>BK</i>. Докажите, что прямые <i>FL</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что  <i>AD</i> = &frac13; <i>AC,  CE</i> = &frac13; <i>CE</i>.  Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

По прямому шоссе со скоростью 60 км в час едет машина. Недалеко от шоссе стоит параллельный ему 100-метровый забор. Каждую секунду пассажир машины измеряет угол, под которым виден забор. Докажите, что сумма всех измеренных им углов меньше 1100°.

На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.

По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону – телега и машина. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 13,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 14,  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 15.  Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> B = </i>50<i>^o </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> C = </i>70<i>^o </i>. Найдите углы треугольника<i> OHC </i>, где<i> H </i>— точка пересечения высот,<i> O </i>— центр окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 4 с центром<i> O </i>, а точка<i> M </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116313/problem_116313_img_2.gif"> AMC = </i>42<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AM </i>,<i> BM </i>и<i> CM </i>образуют убывающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AMO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> AOM </i>или<i> ACM </i>?

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 2 с центром<i> O </i>, а точка<i> K </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116312/problem_116312_img_2.gif"> AKC = </i>46<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AK </i>,<i> BK </i>и<i> CK </i>образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AKO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> ACK </i>или<i> AOK </i>?

Отрезок<i> AL </i>является биссектрисой треугольника<i> ABC </i>. Окружность радиуса 3 проходит через вершину<i> A </i>, касается стороны<i> BC </i>в точке<i> L </i>и пересекает сторону<i> AB </i>в точке<i> K </i>. Найдите угол<i> BAC </i>и площадь треугольника<i> ABC </i>, если<i> BC=</i>4,<i> AK:LB=</i>3<i>:</i>2.

Отрезок<i> KB </i>является биссектрисой треугольника<i> KLM </i>. Окружность радиуса 5 проходит через вершину<i> K </i>, касается стороны<i> LM </i>в точке<i> B </i>и пересекает сторону<i> KL </i>в точке<i> A </i>. Найдите угол<i> MKL </i>и площадь треугольника<i> KLM </i>, если<i> ML=</i>9<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116310/problem_116310_img_2.gif"> </i>,<i> KA:LB=</i>5<i>:</i>6.

Точки <i>K, L</i> и <i>M</i> лежат на одной прямой. Отрезок <i>KL</i> является диаметром первой окружности, а отрезок <i>LM</i> – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку <i>K</i>, пересекает первую окружность в точке <i>N</i> и касается второй окружности в точке <i>S,  LN</i> = 8,  <i>NS</i> = 4.  Найдите радиусы окружностей.

Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой. Отрезок <i>AB</i> является диаметром первой окружности, а отрезок <i>BC</i> – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку <i>A</i>, пересекает первую окружность в точке <i>D</i> и касается второй окружности в точке <i>E,  BD</i> = 9,  <i>BE</i> = 12.  Найдите радиусы окружностей.

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке<i> A </i>, а третьей окружности — в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Продолжение хорды<i> AB </i>первой окружности пересекает вторую окружность в точке<i> D </i>, продолжение хорды<i> AC </i>пересекает первую окружность в точке<i> E </i>, а продолжения хорд<i> BE </i>и<i> CD </i>— третью окружность в точках<i> F </i>и<i> G </i>соответственно. Найдите<i> BС </i>, если<i> BF=</i>12и<i> BG=</i>15.

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке<i> A </i>, а третьей окружности — в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Продолжение хорды<i> AB </i>первой окружности пересекает вторую окружность в точке<i> D </i>, продолжение хорды<i> AC </i>пересекает первую окружность в точке<i> E </i>, а продолжения хорд<i> BE </i>и<i> CD </i>— третью окружность в точках<i> F </i>и<i> G </i>соответственно. Найдите<i> BG </i>, если<i> BC=</i>5и<i> BF=</i>12.

Продолжения противоположных сторон<i> AB </i>и<i> CD </i>четырёхугольника<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> P </i>, а продолжения сторон<i> BC </i>и<i> AD </i>— в точке<i> Q </i>. Докажите, что середины диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>, а также середина отрезка<i> PQ </i>лежат на одной прямой (прямая Гаусса}.

Могут ли три точки с целыми координатами быть вершинами равностороннего треугольника?