Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 7 класса - сложность 3 с решениями

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i>^o </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.

Выпуклая фигура <i>F</i> обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу <i>F</i>. Обязательно ли <i>F</i> – круг?

Можно ли покрасить 15 отрезков, изображённых на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие два отрезка одного цвета не имели общего конца? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109490/problem_109490_img_2.gif"> </div>

<img align="right" src="/storage/problem-media/109460/problem_109460_img_2.gif">Дан набор одинаковых правильных пятиугольников, при вершинах каждого из которых записаны натуральные числа от 1 до 5, как показано на рисунке. Пятиугольники можно поворачивать и переворачивать. Их сложили в стопку (вершина к вершине), и оказалось, что при каждой из пяти вершин суммы чисел одинаковы. Сколько пятиугольников могло быть в этой стопке?

Нарисуйте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии. <img src="/storage/problem-media/109426/problem_109426_img_2.gif">

Существует ли выпуклый пятиугольник (все углы меньше180<i>^o </i>)<i> ABCDE </i>, у которого все углы<i> ABD </i>,<i> BCE </i>,<i> CDA </i>,<i> DEB </i>и<i> EAC </i>– тупые?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>  (<i>AB < BC</i>).  Докажите, что описанные окружности треугольников <i>APQ</i> для всевозможных точек <i>P</i> и <i>Q</i>, выбранных на сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно так, что  <i>CP = CQ</i>,  имеют общую точку, отличную от <i>A</i>.

Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.

Дан треугольник <i>ABC</i> с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCA</i>₁ и <i>CAB</i>₁. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ не может быть правильным.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> сторона <i>AB</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>, а сторона <i>BC</i> – стороне <i>DE</i>.

Докажите, что если  <i>AB = AE = ED</i> = 1,  то  <i>BC + CD</i>  < 1.

Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.

Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)

Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат? Комментарий. Во фразе "все квадраты одинаковы" имеется в виду, что все белые квадраты имеют тот же размер, что и красный.

По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют <i>n</i> поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции <i>A, B</i> и <i>C</i> (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию <i>A</i> и одновременно Лёша входит на станцию <i>B</i>, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.

Расположите на плоскости как можно больше точек так, чтобы любые три точки не лежали на одной прямой и являлись вершинами равнобедренного треугольника.

Отмечены четыре вершины квадрата. Отметьте ещё четыре точки так, чтобы на всех серединных перпендикулярах к отрезкам с концами в отмеченных точках лежало по две отмеченные точки.

Можно ли разрезать равносторонний треугольник на пять попарно различных равнобедренных треугольников.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 120°, точка <i>D</i> лежит на биссектрисе угла <i>A</i>, и  <i>AD = AB + AC</i>.  Докажите, что треугольник <i>DBC</i> – равносторонний.

Найдите сумму величин углов<i>MAN</i>,<i>MBN</i>,<i>MCN</i>,<i>MDN</i>и<i>MEN</i>, нарисованных на клетчатой бумаге так, как показано на рисунке 1. <table> <tr><td><img src="/storage/problem-media/107624/problem_107624_img_2.gif"></td></tr> <tr><td>Рис. 1</td></tr> </table>

Назовем <i>тропинкой</i> замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки <i>M</i> на ней, что любая прямая, проходящая через <i>M, делит тропинку пополам</i>, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> взяты такие точки <i>X</i> и <i>Y</i>, что  ∠<i>ABX</i> = ∠<i>YAC</i>,  ∠<i>AYB</i> = ∠<i>BXC</i>,  <i>XC = YB</i>.  Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104121/problem_104121_img_2.gif"></div>   а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.

  б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.

  в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.

Дед звал внука к себе в деревню:

  – Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растёт четыре груши, а ещё есть яблони, причём они посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растёт ровно две груши.

  – Ну и что тут интересного, – ответил внук. – У тебя всего две яблони.

 – А вот и не угадал, – улыбнулся дед. – Яблонь у меня в саду больше, чем груш.

Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда. Постарайтесь разместить на рисунке как можно больше яблонь, не нарушая условий.