Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 5-7 класса

Каждое звено несамопересекающейся ломаной состоит из нечётного числа сторон клеток квадрата 100×100, соседние звенья перпендикулярны.

Может ли ломаная пройти через все вершины клеток?

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁:  ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i>₁,  равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i>₁, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i>₁. Обязательно ли эти треугольники равны?

Дан квадрат <i>ABCD</i>. На стороне <i>AD</i> внутрь квадрата построен равносторонний треугольник <i>ADE</i>. Диагональ <i>AC</i> пересекает сторону <i>ED</i> этого треугольника в точке <i>F</i>. Докажите, что  <i>CE = CF</i>.

Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

В окружности провели диаметр <i>AB</i> и параллельную ему хорду <i>CD</i>, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол <i>CAB</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116143/problem_116143_img_2.gif"></div>

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116057/problem_116057_img_2.gif"></div>

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i>. Доказать, что конец <i>D</i> отрезка <i>BD</i>, выходящего из вершины <i>B</i>, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке <i>A</i>); из точки <i>B</i> большей окружности, диаметрально противоположной точке <i>A</i>, проведена касательная <i>BC</i> к меньшей окружности. Прямые <i>BC</i> и <i>AC</i> пересекает большую окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Докажите, что дуги <i>DE</i> и <i>BE</i> равны.

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.

Докажите, что  ∠<i>BOC</i> > 60°.

Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i> описана окружность ω. Точка <i>F</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>; продолжение высоты <i>CE</i> пересекает ω в точке <i>G</i>. Докажите, что высота <i>AD</i> является касательной к описанной окружности треугольника <i>GBF</i>.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.

Покажите, как разрезать фигуру, изображенную на верхнем рисунке, на три равные части и сложить из этих частей правильный шестиугольник, изображенный на нижнем рисунке. Оставлять дырки и накладывать части друг на друга нельзя.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115710/problem_115710_img_2.gif"> </i></center>

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115710/problem_115710_img_3.gif"> </i></center>

На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке.

<center><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115380/problem_115380_img_2.gif"></center> После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа. Могло ли колес быть:  а) три;  б) два?

Саша разрезал шахматную доску8<i>× </i>8по границам клеток на30прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами (см. рис.). Попытайтесь улучшить его достижение, разрезав доску на большее число прямоугольников с соблюдением того же условия.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115377/problem_115377_img_2.gif"> </i></center>

Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении  2 : 1.

Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника (например, как на рис.). Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.) <div align="center"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111909/problem_111909_img_2.gif"> </div>

Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася живет в четвёртом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живет Петя. <div align="center"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111899/problem_111899_img_2.gif"> </div>

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2<i>n+</i>1)-угольнике  (<i>n</i> > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  выбрана точка <i>M</i> таким образом, что  ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>.  На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что

∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>.  Докажите, что  <i>BK = KM + MC</i>.

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.

Докажите, что все восемь отрезков равны.

Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?