Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 2-9 класса

В окружность Ω вписан четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> которого перпендикулярны. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116915/problem_116915_img_2.gif"></div>

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Пусть <i>M</i> и <i>I</i> – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а <i>r</i> – радиус вписанной в него окружности.

Докажите, что  <i>MI</i> = ^<i>r</i>/₃  тогда и только тогда, когда прямая <i>MI</i> перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Пусть <i>AH</i> – высота остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>K</i> и <i>L</i> – проекции <i>H</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>KL</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, а прямую <i>AH</i> – в точках <i>A</i> и <i>T</i>. Докажите, что точка <i>H</i> является центром вписанной окружности треугольника <i>PQT</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>BC = a</i>,  <i>AB = AC = b</i>.  На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором

<i>AD = DC = a</i>.  Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.

<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что  <i>AM = NC</i>.  На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что  <i>CN = BK</i>.  Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.

При каких  <i>n</i> > 3  правильный <i>n</i>-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. В треугольники <i>CAL</i> и <i>CBL</i> вписали окружности, которые касаются прямой <i>AB</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Затем все, кроме точек <i>A, L, M</i> и <i>N</i>, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂,...

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i>₁<i>A</i>₂ треугольника <i>OBA</i>₁ и высоту <i>B</i>₁<i>B</i>₂ треугольника <i>OAB</i>₁. Докажите, что отрезок <i>A</i>₂<i>B</i>₂ параллелен стороне <i>AB</i>.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>Q</i> симметрична середине стороны <i>AC</i> относительно <i>AA</i>₁. Точка <i>P</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>QPH</i> = 90°.

Окружность Ω описана около треугольника <i>ABC</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> взяли такую точку <i>B</i>₁, что  <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>.  Биссектриса угла <i>A</i> пересекает Ω вторично в точке <i>W</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>AWB</i>₁ лежит на Ω.

Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка <i>P</i> внутри него, что сумма расстояний от <i>P</i> до вершин больше периметра четырёхугольника?

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>B</i> = 120°.  На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116897/problem_116897_img_2.gif"></div>

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы <i>BB'</i> и <i>CC'</i>, а затем стёрли весь рисунок, кроме точек <i>A, B'</i> и <i>C'</i>.

Восстановите треугольник <i>ABC</i> при помощи циркуля и линейки.

Точка <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> остроугольного равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>N</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>BC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i> и проходящая через точку <i>N</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>. Найдите угол <i>AKC</i>.

Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i>  (<i>AD || BC</i>).  На дуге <i>AD</i> (не содержащей точек <i>B</i> и <i>C</i>) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка <i>M</i>. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин <i>A</i> и <i>D</i> на отрезки <i>BM</i> и <i>CM</i>, лежат на одной окружности.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>L</i> и <i>K</i> соответственно, <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AK</i> и <i>CL</i>. Известно, что площадь треугольника <i>AMC</i> равна площади четырёхугольника <i>LBKM</i>. Найдите угол <i>AMC</i>.

Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат.

Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м²?

Точка <i>K</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i> прямоугольного треугольника <i>АВС</i>. На катетах <i>АС</i> и <i>ВС</i> выбраны точки <i>М</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>МKN</i> – прямой. Докажите, что из отрезков <i>АМ, ВN</i> и <i>MN</i> можно составить прямоугольный треугольник.

В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>BC</i> в два раза меньше основания <i>AD</i>. Из вершины <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>. Докажите, что  <i>СЕ = CD</i>.

Через концы основания <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> провели окружность, которая пересекла боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Известно, что точка <i>T</i> пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>DM</i> также лежит на этой окружности. Докажите, что  <i>TB</i> = <i>TC</i>.