Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?

На плоскости нарисованы <i>n</i> > 2 различных векторов  <i><b>a</b></i>₁, <i><b>a</b></i>₂, ..., <i><b>a</b>_n</i>  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –<i><b>a</b></i>₁ + <i><b>a</b></i>₂ + ... + <i><b>a</b>_n</i>,

<i><b>a</b></i>₁ – <i><b>a</b></i>₂ + <i><b>a</b></i>₃ + ... + <i><b>a</b>_n</i>,  <...

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

Дан выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Известно, что  ∠<i>FAE</i> = ∠<i>BDC</i>,  а четырёхугольники <i>ABDF</i> и <i>ACDE</i> являются вписанными.

Докажите, что прямые <i>BF</i> и <i>CE</i> параллельны.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отметили произвольную точку <i>D</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> симметричны точке <i>D</i> относительно биссектрис углов <i>A</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>EF</i> лежит на прямой <i>A</i>₀<i>C</i>₀, где <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторонами <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно.

Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом в точке <i>P</i>. Через центр ω₁ проведена прямая <i>l</i>₁, касающаяся ω₂. Аналогично прямая <i>l</i>₂ касается ω₁ и проходит через центр ω₂. Оказалось, что прямые <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂ непараллельны. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на биссектрисе одного из углов, образованных <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂.

Каково максимальное число попарно непараллельных отрезков с концами в вершинах правильного <i>n</i>-угольника?

Докажите, что диагонали <i>AD, BE, CF</i> вписанного шестиугольника <i>ABCDEF</i> пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:

  а)  <i>AB = BC</i>,  <i>CD = DE</i>,  <i>EF = FA</i>;

  б)  <i>AB = BC</i>,  <i>CD = FA</i>,  <i>EF = DE</i>;

  в)  <i>AB = DE</i>,  <i>CD = FA</i>,  <i>EF = BC</i>.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике <i>ABC</i> точки <i>C</i>₀ и <i>B</i>₀ – середины сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – точка пересечения высот. Прямые <i>BH</i> и <i>OC</i>₀ пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>CH</i> и <i>OB</i>₀ – в точке <i>Q</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>OPHQ</i> – ромб. Докажите, что точки <i>A, P</i> и <i>Q</i> лежат на одной прямой.

На стороне <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что ∠<i>ABM</i> = ∠<i>CBK</i>.

Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABM, ABK, CBM</i> и <i>CBK</i> лежат на одной окружности.

Рассматриваются все треугольники <i>АВС</i>, у которых положение вершин <i>В</i> и <i>С</i> зафиксировано, а вершина <i>А</i> перемещается в плоскости треугольника так, что медиана <i>СМ</i> имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка <i>А</i>?

В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>А</i> равен 60°, <i>М</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i>.

Найдите угол <i>IMA</i>, где <i>I</i> – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> лежит на ребре <i>CD</i> и  2<i>DF = FC</i>,  точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 3<i>BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  AB</i> = 2<i>BS</i>,  точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB</i>,  2<i>AB = BS</i>  и точка <i>B</i> лежит между <i>A</i> и <i>S</i>. В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Тело в форме тетраэдра <i>ABCD</i> с одинаковыми рёбрами поставлено гранью <i>ABC</i> на плоскость. Точка <i>F</i> – середина ребра <i>CD</i>, точка <i>S</i> лежит на прямой <i>AB,  S ≠ A,  AB = BS</i>.  В точку <i>S</i> сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку <i>F</i>, чтобы пройденный им путь был минимальным?

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> сторона основания <i>ABC</i> равна 4, угол между плоскостью основания <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116519/problem_116519_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины отрезков <i>AB</i>, <i>DK</i>, <i>AC</i> соответственно, точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>CM</i> и 5<i>ME = CE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>CM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i...

В правильной треугольной пирамиде <i>ABCD</i> длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием <i>ABC</i> и боковой гранью равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116518/problem_116518_img_2.gif">. Точки <i>K</i>, <i>M</i>, <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i>, <i>CD</i>, <i>AC</i> соответственно. Точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>KM</i> и 2<i>ME</i> = <i>KE</i>. Через точку <i>E</i> проходит плоскость П перпендикулярно отрезку <i>KM</i>. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки <i>N</i...

Сторона основания <i>ABCD</i> правильной пирамиды <i>SABCD</i> равна <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_2.gif">, угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен <img align="middle" src="/storage/problem-media/116516/problem_116516_img_3.gif">. Точка <i>M</i> – середина ребра <i>SD</i>, точка <i>K</i> – середина ребра <i>AD</i>. Найдите:1) объём пирамиды <i>CMSK</i>;2) угол между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>;3) расстояние между прямыми <i>CM</i> и <i>SK</i>.

Через центр вписанной окружности четырёхугольника <i>ABCD</i> проведена прямая. Она пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>X</i> и сторону <i>CD</i> в точке <i>Y</i>; известно, что  ∠<i>AXY</i> = ∠<i>DYX</i>.  Докажите, что  <i>AX</i> : <i>BX = CY</i> : <i>DY</i>.

<i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через точку <i>I</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что отрезок <i>XY</i> касается вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности.

Внутри треугольника <i>ABC</i> на биссектрисе его угла <i>B</i> выбрана такая точка <i>M</i>, что  <i>AM = AC</i>  и  ∠<i>BCM</i> = 30°.  Докажите, что  ∠<i>AMB</i> = 150°.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – середины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. На продолжении отрезка <i>C</i>₁<i>B</i>₁ отложен отрезок <i>B</i>₁<i>K</i> по длине равный <img align="middle" src="/storage/problem-media/116500/problem_116500_img_2.gif">. Известно, <i>AA</i>₁ = <i>BC</i>. Докажите, что <i>AB = BK</i>.