Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика»

Натуральные числа <i>x, y, z</i> таковы, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.

Докажите, что  <i>n</i>³ – <i>n</i>  делится на 24 при любом нечётном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2  не делится на 9 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>² + 1  не делится на 3 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>⁵ + 4<i>n</i>  делится на 5 при любом натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2<i>n</i>  делится на 3 для любого натурального <i>n</i>.

Найдите остатки от деления

  а)  1989·1990·1991 + 1992²  на 7;

  б) 9¹⁰⁰ на 8.

Докажите, что для любых натуральных чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно равенство  НОД(<i>a, b</i>)НОК(<i>a, b</i>) = <i>ab</i>.

Решите в целых числах уравнение:  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 3 = 0.

Решите в натуральных числах уравнение:

  а)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 31;

  б)  <i>x</i>² – <i>y</i>² = 303.

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что  56<i>a</i> = 65<i>b</i>.  Докажите, что &nbsp <i>a + b</i>  – составное число.

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причём одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось  АБ×ВГ = ДДЕЕ.  Докажите, что он где-то ошибся.

Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, является точным квадратом.

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Может ли <i>n</i>! оканчиваться ровно на пять нулей?

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится   а) на 30;   б) на 120.

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Сколько делителей у числа

  а)  <i>pq</i>;

  б)  <i>p</i>²<i>q</i>;

  в)  <i>p</i>²<i>q</i>²;

  г)  <i>p^mqⁿ</i>?

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга

  а) две ладьи;   б) двух королей;  в) двух слонов;   г) двух коней;   д) двух ферзей?

Все фигуры одного цвета.

Чемпионат России по шахматам проводится в один круг.Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?

Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?