Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика»

Найдите последнюю цифру числа  1² + 2² + ... + 99².

а)  <i>a</i> + 1  делится на 3. Докажите, что  4 + 7<i>a</i>  делится на 3.б)  2 + <i>a</i>  и  35 – <i>b</i>  делятся на 11. Докажите, что  <i>a + b</i>  делится на 11.

<i>x, y, z</i> – натуральные числа, причём  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что <i>xy</i> делится на 12.

Докажите, что число  6<i>n</i>³ + 3  не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 4  не является кубом целого числа ни при каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i>.

Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

<i>p</i>,  4<i>p</i>² + 1  и  6<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

а) Может ли сумма квадратов двух нечётных чисел быть квадратом целого числа? б) Может ли сумма квадратов трёх нечётных чисел быть квадратом целого числа?

Докажите, что не существует таких натуральных чисел <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a</i>² – 3<i>b</i>² = 8.

<i>p</i> и  <i>p</i>² + 2  – простые числа. Докажите, что  <i>p</i>² + 2  – также простое число.

<i>p</i> и  8<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

а) <i>p,  p</i> + 10,  <i>p</i> + 14  – простые числа. Найдите <i>p</i>.б) <i>p</i>,  2<i>p</i> + 1,  4<i>p</i> + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Найдите последнюю цифру числа 7^7⁷.

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 3.

На какую цифру оканчивается число 777⁷⁷⁷?

Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.

Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Докажите, что сумма квадратов трёх натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

Три простых числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, большие 3, образуют арифметическую прогрессию:  <i>q = p + d,  r = p</i> + 2<i>d</i>.  Докажите, что <i>d</i> делится на 6.

<i>a, b, c</i> – целые числа, причём  <i>a + b + c</i>  делится на 6. Докажите, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³  тоже делится на 6.

<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа, причём число  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.