Задача № 130278
Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?
Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130277
Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры - одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть или один из них надо сдать в переплавку?
Задача № 130276
В примере на сложение цифры заменили буквами (причем одинаковые цифры - одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами) и получили: БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное возможное значение числа МНОГО.
Задача № 130274
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?
Задача № 130266
Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 × 991?
Задача № 130265
В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?
Задача № 130264
Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а за каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки столба, если его высота равна 75 см?
Задача № 130263
Найдите все n, при которых для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены axk и bxl (0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n), что графики многочленов P(x) + axk и Q(x) + bxl не будут иметь общих точек.
Задача № 130262
Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 439, а номер последней записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?
Задача № 130261
Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?
Задача № 130260
В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?
Задача № 123304
Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и –1 так, чтобы все суммы чисел по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны?
Задача № 122000
Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.
Задача № 121999
Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдётся несколько, сумма которых делится на 10.
Задача № 121994
В таблице 10×10 расставлены целые числа, причём каждые два числа в соседних клетках отличаются не более чем на 5. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
Задача № 121993
Цифры 1, 2, ..., 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.
Задача № 121990
В клетках таблицы 3×3 расставлены числа –1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из восьми сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.
Задача № 121989
Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.
Задача № 121988
Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1987.
Задача № 121987
Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.
Задача № 121986
Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.
Задача № 121979
а) Какое наибольшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно незакрашенное поле? б) Какое наименьшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно чёрное поле?
Задача № 121978
Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Задача № 121972
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
6101–6124 из 6124