Задача № 216999
Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b³ + 1 и b² + 2 взаимно простыми?
Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 9-11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216997
Найдите наибольшее значение выражения х + у, если x ∈ [0, 3π/2], y ∈ [π, 2π].
Задача № 216996
Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?
Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Задача № 216991
Найдите наибольшее значение выражения ab + bc + ac + abc, если a + b + c = 12 (a, b и с – неотрицательные числа).
Задача № 216988
Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что Р(1) = 2013, Р(2013) = 1, P(k) = k, где k – некоторое целое число. Найдите k.
Задача № 216987
Выдающемуся бразильскому футболисту Роналдиньо Гаушо исполнится X лет в X² году. А сколько лет ему исполнится в 2018 году, когда чемпионат мира пройдёт в России?
Задача № 216985
Известно, что tg α + tg β = p, ctg α + ctg β = q. Найдите tg(α + β).
Задача № 216954
Фигура мамонт бьёт как слон (по диагоналям), но только в трёх направлениях из четырёх (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8×8?
Задача № 216953
Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20n + 13n делится на k.
Задача № 216951
Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?
Задача № 216948
P(x) и Q(x) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена P(x) в трёхчлен Q(x), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена Q(x) в трёхчлен P(x). Докажите, что дискриминанты трёхчленов P(x) и Q(x) равны.
Задача № 216947
Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске?
Задача № 216944
Натуральные числа a, b и c, где c ≥ 2, таковы, что 1/a + 1/b = 1/c. Докажите, что хотя бы одно из чисел a + c, b + c – составное.
Задача № 216941
Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен P(x) + Q(x) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен Q(x) + R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен P(x) + R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.
Задача № 216938
В клетках доски 8×8 расставлены числа 1 и –1 (в каждой клетке – по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения фигурки на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений.
Задача № 216935
Ненулевые числа a и b таковы, что уравнение a(x – a)² + b(x – b)² = 0 имеет единственное решение. Докажите, что |a| = |b|.
Задача № 216934
По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.
Задача № 216931
Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что M = 3N. Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N?
Задача № 216930
Петя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?
Задача № 216928
Решите уравнение: .
Задача № 216927
На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?
Задача № 216925
На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?
Задача № 216924
На какую наибольшую степень тройки делится произведение 3·33·333·...·3333333333 ?
Задача № 216922
Известно, что числа а, b, c и d – целые и . Может ли выполняться равенство аbcd = 2012?
1–25 из 4769