Задача № 216874
Известно, что tg A + tg B = 2 и ctg A + ctg B = 3. Найдите tg (A + B).
Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 11 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216617
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Задача № 216494
На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
Задача № 216493
Про углы треугольника ABC известно, что и . Найдите величину угла C.
Задача № 216430
Решите неравенство:
Задача № 216226
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Задача № 216220
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Задача № 215708
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
Задача № 215510
Какое наибольшее значение может принимать выражение где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?
Задача № 177973
Найти геометрическое место точек, координаты которых (x,y) удовлетворяют соотношениюsin(x+y) = 0.
Задача № 176506
Разделить a2k – b2k на (a + b)(a² + b²)(a4 + b4)...(a2k–1 + b2k–1).
Задача № 165983
В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?
Задача № 165781
Бухгалтер конторы "Рога и копыта" Балаганов составил штатное расписание – таблицу, в которой указаны все должности, количество сотрудников и их оклады (месячные зарплаты). Кроме того, указан средний оклад по конторе. Некоторые места Паниковский случайно заляпал вареньем, и стало невозможно прочитать, что там написано. Либо найдите заляпанные вареньем числа, либо докажите, что Балаганов ошибся.
Задача № 161538
Найдите коэффициент при x у многочлена (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).
Задача № 161522
Докажите следующие свойства функций gk,l(x) (определения функций gk,l(x) смотри здесь): а) gk,l(x) = , где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1); б) gk,l(x) = gl,k(x); в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x); г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x); д) gk,l(x) – многочлен степени kl. Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
Задача № 161521
Вычислите функции gk,l(x) при 0 ≤ k + l ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами. Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Задача № 161459
Докажите, что геометрическая прогрессия{an} =bx0nудовлетворяет соотношению (11.2) тогда и только тогда, когдаx0-- корень характеристического уравнения (11.3) последовательности {an}.
Задача № 161458
Определение.Последовательность чиселa0,a1,...,an,..., которая удовлетворяет с заданнымиpиqсоотношению an+2=pan+1+qan (n=0,1,2,...) (11.2) называетсялинейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка. Уравнение x 2-px-q=0 (11.3) называетсяхарактеристическим уравнениемпоследовательности (an). Докажите, что если числаa0,a1фиксированы, то все остальные члены последовательности {an} определяются однозначно.
Задача № 161430
Найдите последовательность {an} такую, чтоan=n2. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы12+ 22+ 32+...+n2.
Задача № 161429
Пусть даны последовательности чисел {an} и {bn}, связанные соотношениемbn=an, (n= 1, 2,...). Как связаны частичные суммыSnпоследовательности {an} Sn = a1 + a2 +...+ an с последовательностью {bn}?
Задача № 161428
Найдите а) n2; в) nk; б) n(n - 1); д) Cnk.
Задача № 161400
Предположим, что имеется набор функций f1(x), ..., fn(x), определённых на отрезке [a, b]. Докажите неравенство:
Задача № 161379
Докажите неравенство для положительных значений переменных:
Задача № 161364
Докажите для положительных значений переменной неравенство
1–25 из 48