Задача № 216874
Известно, что tg A + tg B = 2 и ctg A + ctg B = 3. Найдите tg (A + B).
Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216617
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
Задача № 216599
Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство (n – 1)n+1(n + 1)n–1 < n2n.
Задача № 216595
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Задача № 216534
Известно, что x, y и z – целые числа и xy + yz + zx = 1. Докажите, что число (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) является квадратом натурального числа.
Задача № 216533
Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.
Задача № 216531
Для некоторых чисел а, b, c и d, отличных от нуля, выполняется равенство: . Найдите знак числа ас.
Задача № 216528
Решите уравнение: (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).
Задача № 216494
На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
Задача № 216493
Про углы треугольника ABC известно, что и . Найдите величину угла C.
Задача № 216487
Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля? ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)
Задача № 216457
Известно, что . Найдите значение выражения .
Задача № 216451
Какие значения может принимать выражение (x – y)(y – z)(z – x), если известно, что ?
Задача № 216450
Делится ли число 2110 – 1 на 2200?
Задача № 216448
Найдите все натуральные решения уравнения 2n – 1/n5 = 3 – 2/n.
Задача № 216445
Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня?
Задача № 216430
Решите неравенство:
Задача № 216226
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Задача № 216220
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Задача № 216023
Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?
Задача № 216021
Найдите наибольшее натуральное n, при котором n200 < 5300.
Задача № 216009
На координатной плоскости изображен график функции y = ax² + c (см. рисунок). В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат?
Задача № 215970
Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.
Задача № 215968
Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна 2011. Сколько корней имеет уравнение ax² + 2bx + 4c = 0?
1–25 из 119