Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Фокусник выкладывает 36 карт в виде квадрата 6×6 (в 6 столбцов по 6 карт) и просит Зрителя мысленно выбрать карту и запомнить столбец, её содержащий. После этого Фокусник определённым образом собирает карты, снова выкладывает в виде квадрата 6×6 и просит Зрителя назвать номера столбцов, содержащих выбранную карту в первый и второй раз. После ответа Зрителя Фокусник безошибочно отгадывает карту. Как действовать Фокуснику, чтобы фокус гарантированно удался?

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.

Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось <i>OX</i> никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось <i>OY</i> обязательно совпадут или совпадали раньше.

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/110043/problem_110043_img_2.gif"></div>Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.

Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98473/problem_98473_img_2.gif">   при любых натуральных <i>n</i> и <i>k</i>.