Задача № 210094
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами. Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209908
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3n) ≥ S(3n+1).
Задача № 209889
В каждой клетке квадратной таблицы размером n×n клеток (n ≥ 3) записано число 1 или –1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить n получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число n делится на 4.
Задача № 209782
Дано дерево с n вершинами, n ≥ 2. В его вершинах расставлены числа x1, x2, xn, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что
Задача № 209710
Дана последовательность неотрицательных чисел a1 , a2 , an . Для любого k от 1 до n обозначим через mk величину l=1,2,..,k . Докажите, что при любом α>0число тех k , для которых mk>α , меньше, чемa1+a2+...+an α.
Задача № 207828
На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?
Задача № 198339
Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?
Задача № 167497
На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)