Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
Дан треугольник ABC, AA1, BB1 и CC1 – его биссектрисы. Известно, что величины углов A, B и C относятся как 4 : 2 : 1. Докажите, что A1B1 = A1C1.
Из вершины A квадрата ABCD со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина C лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.
Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Докажите следующие равенства: а) = + ; б) = 2 cos.
Докажите иррациональность следующих чисел:а) ; б) ; в) ; г) ; д) cos 10° ; е) tg 10° ; ж) sin 1° ; з) log23 .
Пусть x = sin 18°. Докажите, что 4x² + 2x = 1.
В квадрате ABCD точки K и M принадлежат сторонам BC и CD соответственно, причём AM – биссектриса угла KAD. Докажите, что AK = DM + BK.
Равнобедренные треугольники ABC (AB = BC) и A1B1C1 (A1B1 = B1C1) равны. Вершины A1, B1 и C1 расположены соответственно на продолжениях стороны BC за точку C, стороны BA за точку A, стороны AC за точку C, причём B1C1 ⊥ BC. Найдите угол B.
Равнобедренные треугольники ABC (AB = BC) и A1B1C1 (A1B1 = B1C1) подобны и BC : B1C1 = 4 : 3. Вершина B1 расположена на стороне AC, вершины A1 и C1 – соответственно на продолжениях стороны BA за точку A и стороны CB за точку B, причём A1C1 ⊥ BC. Найдите угол B.
Равнобедренные треугольники ABC (AB = BC) и A1B1C1 (A1B1 = B1C1) подобны и AB : A1B1 = 2 : 1. Вершины A1, B1 и C1 расположены соответственно на сторонах CA, AB и BC, причём A1B1 ⊥ AC. Найдите угол B.
Равнобедренные треугольники ABC (AB = BC) и A1B1C1 (A1B1 = B1C1) подобны и AC : A1C1 = 5 : . Вершины A1 и B1 расположены соответственно на сторонах AC и BC, а вершина C1 – на продолжении стороны AB за точку B, причём A1B1 ⊥ BC. Найдите угол B.