Задача № 2169666 класс7 класс8 класс3 / 5
Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре "1" или "2" (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?
Задача № 2167935 класс6 класс3 / 5
Коля утверждает, что можно выяснить, делится ли на 101 сумма всех четырёхзначных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 9, не вычисляя самой суммы. Прав ли Коля?
Задача № 2158397 класс8 класс9 класс10 класс3 / 5
Барон Мюнхгаузен говорит, что у него есть многозначное число-палиндром (оно читается одинаково слева направо и справа налево). Написав его на бумажной ленте, барон сделал несколько разрезов между цифрами и получил на кусочках ленты числа 1, 2, ..., N в некотором порядке (каждое – ровно по разу). Не хвастает ли барон?
Задача № 2117918 класс9 класс10 класс3 / 5
В натуральном числе A переставили цифры, получив число B. Известно, что Найдите наименьшее возможное значение n.
Задача № 2113409 класс10 класс11 класс3 / 5
Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке p стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких p Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса?
Задача № 2113369 класс10 класс3 / 5
Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?
Задача № 2101779 класс10 класс11 класс3 / 5
Каких точных квадратов, не превосходящих 1020, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?
Задача № 2101717 класс8 класс9 класс3 / 5
Набор пятизначных чисел {N1,…,Nk} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел N1,…,Nk. Найдите наименьшее возможное значение k.
Задача № 2101568 класс9 класс10 класс3 / 5
Набор пятизначных чисел {N1 , Nk} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел N1 , Nk . Найдите наименьшее возможное значение k .
Задача № 2101378 класс9 класс10 класс3 / 5
Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.
Задача № 2101308 класс9 класс10 класс3 / 5
Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.
Задача № 2101107 класс8 класс9 класс3 / 5
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Задача № 2100827 класс8 класс9 класс3 / 5
Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n, n + 1, n + 2 и n + 3 делится на сумму своих цифр. (Например, n = 60398 – хорошее.) Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?
Задача № 2100178 класс9 класс3 / 5
К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A . Найдите A .
Задача № 2099588 класс9 класс10 класс3 / 5
Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?
Задача № 2099528 класс9 класс3 / 5
Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?
Задача № 2097568 класс9 класс10 класс3 / 5
Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
Задача № 2096957 класс8 класс9 класс10 класс3 / 5
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа3n ?
Задача № 2096129 класс10 класс11 класс3 / 5
Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.
Задача № 2095957 класс8 класс9 класс10 класс3 / 5
В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы. Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?
Задача № 2095908 класс9 класс3 / 5
Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?
Задача № 2095558 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
Задача № 2091848 класс9 класс10 класс3 / 5
Найти наименьшее натуральное число A, удовлетворяющее следующим условиям: а) его запись оканчивается цифрой 6; б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.
Задача № 2078608 класс9 класс10 класс3 / 5
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Задача № 2078248 класс9 класс10 класс3 / 5
а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным. б) Существует ли такое 1997-значное число?