Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» - сложность 2-4 с решениями

Докажите, что система неравенств

    |<i>x</i>| > |<i>y – z + t</i>|,

    |<i>y</i>| > |<i>x – z + t</i>|,

    |<i>z</i>| > |<i>x – y + t</i>|,

    |<i>t</i>| > |<i>x – y + z</i>|

не имеет решений.

Докажите, что ни для каких чисел <i>x, y, t</i> не могут одновременно выполняться три неравенства:  |<i>x| < |y − t|, |y| < |t − x|, |t| < |x − y</i>|.

Натуральные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> таковы, что каждое не превышает своего номера  (<i>a_k ≤ k</i>)  и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм  <i>a</i>₁ ± <i>a</i>₂ ± ... ± <i>a_n</i>  равна нулю.

По заданной последовательности положительных чисел  <i>q</i>₁,..., <i>q_n</i>, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:

    <i>f</i>₀(<i>x</i>) = 1,

    <i>f</i>₁(<i>x</i>) = <i>x</i>,

      ...

    <i>f</i>_<i>n</i>+1(<i>x</i>) = (1 + <i>q_n</i>)<i>xf_n</i>(<i>x</i>) – <i>q_nf</i>_<i>n</i>–1(<i>x</i>).

Докажите, что все вещественные корни <i>n</i>-го мног...

Дана последовательность...,<i>a</i>_-n,...,<i>a</i>_-1,<i>a</i>₀,<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен${\frac{1}{4}}$суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

<i>X</i> – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, <i>X, X</i>², <i>X</i>³, <i>X</i>⁴, ..., <i>X^k</i> (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1, </div>если |<i>x</i>| < 1 и |<i>y</i>| < 1.

Решить уравнение:  <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_2.gif"> + <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_3.gif"> = 1.

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |<i>x| + |y</i>| < 100?

Решить уравнение:<div align="CENTER"> | <i>x</i> + 1| - | <i>x</i>| + 3| <i>x</i> - 1| - 2| <i>x</i> - 2| = <i>x</i> + 2. </div>

Если разность между наибольшим и наименьшим из<nobr><i>n</i> данных</nobr>вещественных чисел<nobr>равна <i>d</i>,</nobr>а сумма модулей всех<nobr><i>n</i>(<i>n</i> – 1)/2</nobr>попарных разностей этих чисел<nobr>равна <i>s</i>,</nobr>то(<i>n</i> – 1)<i>d</i> <font face="Symbol">£</font> <i>s</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i>²<i>d</i>/4.Докажите это.

Петя и Вася играют на отрезке $[0; 1]$, в котором отмечены точки $0$ и $1$. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

Сто друзей, среди которых есть Петя и Вася, живут в нескольких городах. Петя узнал расстояние от своего города до города каждого из оставшихся 99 друзей и сложил эти 99 чисел. Аналогично поступил Вася. Петя получил 1000 км. Какое наибольшее число мог получить Вася? (Города считайте точками плоскости; если двое живут в одном и том же городе, расстояние между их городами считается равным нулю.)

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_<i>a</i> – ¹/_<i>b</i>| ≤ $k$?

На улице <i>n</i> домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.

  а) Решите задачу для  <i>n</i> = 5.

  б) Решите задачу для  <i>n</i> = 6.

  в) Решите задачу для произвольного <i>n</i>.

Дан числовой набор <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>. Рассмотрим функцию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_2.png">.

  а) Верно ли, что функция <i>d</i>(<i>t</i>) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>?

  б) Сравните значения <i>d</i>(<i>c</i>) и <i>d</i>(<i>m</i>), где  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65303/problem_65303_img_3.png">,  а <i>m</i> – медиана указанного набора.

В сейфе <i>n</i> ячеек с номерами от 1 до <i>n</i>. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в <i>i</i>-й ячейке оказалась карточка с числом <i>a_i</i>. Петя может менять местами любые две карточки с номерами <i>x</i> и <i>y</i>, платя за это  2|<i>x – y</i>|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |<i>a</i>₁ – 1| + |<i>a</i>₂ – 2| + ... + |<i>a_n – n</i>|  рублей.

Докажите, что система неравенств |x|<|y-z|, |y|<|z-x|, |z|<|x-y| не имеет решений.

Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?

Найдите максимальное значение выражения  |...||<i>x</i>₁ – <i>x</i>₂| – <i>x</i>₃| – ... – <i>x</i>₁₉₉₀|,  где <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₉₉₀ – различные натуральные числа от 1 до 1990.

По окружности стоит 6 чисел; каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1.a) Найдите набор чисел, удовлетворяющий данному условию.б) Сколько различных таких наборов существует? Решения, получающиеся друг из друга поворотом окружности, считаются одинаковыми.