Задача № 210162
Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2. Докажите, что   + + > x + y + z.
Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 2-9 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210000
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?
Задача № 209882
Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2. Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?
Задача № 209816
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение |x-a1|+..+|x-a50|=|x-b1|+..+|x-b50|, где a1 , a2 , a50, b1 , b2 , b50– различные числа?
Задача № 209558
Даны три приведённых квадратных трехчлена: P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| имеет не более восьми корней.
Задача № 209550
На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или - , второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?
Задача № 198215
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально. б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?
Задача № 186125
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величинаn2d, гдеd- разность прогрессии, аn- число ее членов?
Задача № 186119
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величинаn2d, гдеd- разность прогрессии, аn- число ее членов?
Задача № 179553
Все значения квадратного трёхчлена ax² + bx + c на отрезке [0, 1] по модулю не превосходят 1. Какое наибольшее значение при этом может иметь величина |a| + |b| + |c|?
Задача № 179497
Решите систему неравенств |x| < |y – z + t|, |y| < |x – z + t|, |z| < |x – y + t|, |t| < |x – y + z|.
Задача № 179494
Докажите, что система неравенств |x| > |y – z + t|, |y| > |x – z + t|, |z| > |x – y + t|, |t| > |x – y + z| не имеет решений.
Задача № 179396
Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера (ak ≤ k) и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм a1 ± a2 ± ... ± an равна нулю.
Задача № 178568
Дана последовательность...,a-n,...,a-1,a0,a1,...,an,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равенсуммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Задача № 167058
При каком наименьшем среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа и , что || ≤ или |1/a – 1/b| ≤ ?
Задача № 165306
На улице n домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой. а) Решите задачу для n = 5. б) Решите задачу для n = 6. в) Решите задачу для произвольного n.
Задача № 165303
Дан числовой набор x1, ..., xn. Рассмотрим функцию . а) Верно ли, что функция d(t) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел x1, ..., xn? б) Сравните значения d(c) и d(m), где , а m – медиана указанного набора.
Задача № 164771
В сейфе n ячеек с номерами от 1 до n. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в i-й ячейке оказалась карточка с числом ai. Петя может менять местами любые две карточки с номерами x и y, платя за это 2|x – y| рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более |a1 – 1| + |a2 – 2| + ... + |an – n| рублей.
Задача № 135377
Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет?