Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.
Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.
Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)| при всех действительных x. Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.
Даны числаа1, ...,аn. Для 1 ≤i≤nположим di = MAX { aj | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { aj | i ≤ j ≤ n } d = MAX { di | 1 ≤ i ≤ n } а) Доказать, что для любыхx1≤x2≤ ... ≤xnвыполняется неравенство MAX { |xi - ai| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2. б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {xi}i=1...n
Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2. Докажите, что   + + > x + y + z.
Существует ли функция f(x), определенная при всех x и для всех x,y удовлетворяющая неравенству |f(x+y)+ sin x+ sin y|
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?
Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2. Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение |x-a1|+..+|x-a50|=|x-b1|+..+|x-b50|, где a1 , a2 , a50, b1 , b2 , b50– различные числа?
Даны три приведённых квадратных трехчлена: P1(x), P2(x) и P3(x). Докажите, что уравнение |P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)| имеет не более восьми корней.
Доказать, что выражение + равно 2, если 1
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.
{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|. а) Докажите, что если a1 рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая. б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 рационально.
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величинаn2d, гдеd- разность прогрессии, аn- число ее членов?
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величинаn2d, гдеd- разность прогрессии, аn- число ее членов?
Все значения квадратного трёхчлена ax² + bx + c на отрезке [0, 1] по модулю не превосходят 1. Какое наибольшее значение при этом может иметь величина |a| + |b| + |c|?
Решите систему неравенств |x| < |y – z + t|, |y| < |x – z + t|, |z| < |x – y + t|, |t| < |x – y + z|.
Докажите, что система неравенств |x| > |y – z + t|, |y| > |x – z + t|, |z| > |x – y + t|, |t| > |x – y + z| не имеет решений.
Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера (ak ≤ k) и сумма всех чисел – чётное число. Доказать, что одна из сумм a1 ± a2 ± ... ± an равна нулю.
Дана последовательность...,a-n,...,a-1,a0,a1,...,an,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равенсуммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].
X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, X, X², X³, X4, ..., Xk (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.
Докажите, что < 1, если |x| < 1 и |y| < 1.
Решить уравнение: + = 1.