Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» - сложность 4-5 с решениями

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Из имеющихся последовательностей {<i>b_n</i>} и {<i>c_n</i>} (возможно, {<i>b_n</i>} совпадает с {<i>c_n</i>})  разрешается получать последовательности  {<i>b_n + c_n</i>},

{<i>b_n – c_n</i>},  {<i>b_nc_n</i>}  и  {^<i>b_n</i>/_{<i>c_n</i>}}  (если все члены последовательности {<i>c_n</i>} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последователь...

Дана функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> ,   где трёхчлены  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:

  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;

  2)  <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде:  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>f</i>₂(...<i>f</i>_<i>n</i>–1(<i>f_n</i>(<i>x</i>))...)),  где каждая из функций  <i>f_i...

Пусть  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>n</i>–1 = <i>F</i>(<i>x</i>)<i>G</i>(<i>x</i>),  где <i>F</i> и <i>G</i> – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (<i>n</i> > 1).

Докажите, что один из многочленов <i>F</i>, <i>G</i> представим в виде  (1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>k</i>–1)<i>T</i>(<i>x</i>),  где <i>T</i>(<i>x</i>) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (<i>k</i> > 1).

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  <i>y = f</i>(<i>x</i>),  для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i>² – 1996  при всех <i>x</i>.

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2^<i>m</i> с натуральным <i>m</i>. Докажите, что этот многочлен – первой степени.

Трёхчлен  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  при всех целых <i>x</i> является точным квадратом. Доказать, что тогда  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = (<i>dx + e</i>)².

Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>, чтобы выражение  <i>x</i>(<i>x</i> – <i>a</i>)(<i>x</i> – <i>b</i>)(<i>x</i> – <i>c</i>) + 1  разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.

Пусть  <i>p = a_m</i>10<i>^m + a</i>_<i>m</i>–110^<i>m</i>–1 + ... + <i>a</i>₀  – простое число, записанное в десятичной системе счисления. Докажите, что многочлен

<i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_mx^m + a</i>_<i>m</i>–1<i>x</i>^<i>m</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  неприводим над целыми числами.

Обозначим через <i>T_k</i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например,    <i>T</i>₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.

   а) Найдите формулы для <i>T</i>₂(<i>n</i>) и <i>T</i>₃(<i>n</i>).

   б) Докажите, что <i>T_<i>k</i></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.

   в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i>_<i>k</i>(<i>n</i>) при  <i>k</i> = 2, 3, 4, ...  и примените его для о...

  а) <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, <i>x</i>₄, <i>x</i>₅ – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений <i>x</i>₁<i>x</i>₂, <i>x</i>₂<i>x</i>₃, <i>x</i>₃<i>x</i>₄, <i>x</i>₄<i>x</i>₅ и <i>x</i>₅<i>x</i>₁.

  б) Пр...

Для каждого натурального  <i>n</i> > 1  существует такое число <i>c_n</i>, что для любого <i>x</i> произведение синуса числа <i>x</i>, синуса числа  <i>x</i> + ^π/_<i>n</i>,  синуса числа

<i>x</i> + ^2π/_<i>n</i>,  ..., наконец, синуса числа  <i>x</i> + ^{(<i>n</i> – 1)π}/_<i>n</i>  равно произведению числа <i>c_n</i> на синус числа <i>nx</i>. Докажите это и найдите величину <i>c_n</i>.

По окружности выписаны <i>n</i> чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>_<i>n</i>,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> – 1  сумма <i>n</i> произведений чисел, отстоящих друг от друга на <i>k</i> мест, равна нулю

(то есть  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x_nx</i>₁ = 0,  <i>x</i><sub&gt...

Докажите, что если для чисел <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, <i>q</i>₁ и <i>q</i>₂ выполнено неравенство  (<i>q</i>₁ – <i>q</i>₂)² + (<i>p</i>₁ – <i>p</i>₂)(<i>p</i>₁<i>q</i>₂ – <i>p</i>₂<i>q</i>₁) < 0,  то квадратные трёхчлены

<i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x</i> + <i>q</i>₁  и  <i>x</i&...

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

Если сумма дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_2.gif">   равна 0, то сумма дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_3.gif">   тоже равна 0. Докажите это.

Найдите хоть одно вещественное число $A$ со свойством: для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части числа $A^n$ до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа $x$ – наименьшее целое число, не меньшее $x$.)

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.

<i>Верхней целой частью</i>числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?

<i>Верхней целой частью</i>числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.

Как будет выглядеть формула <i>n</i>-го члена для рекуррентной последовательности <i>k</i>-го порядка, если

  a) характеристическое уравнение имеет простые корни  <i>x</i>₁,..., <i>x_k</i>,  отличные от нуля;

  б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни  <i>x</i>₁, ..., <i>x_m</i>  с кратностями  α₁, ..., α<i>_m</i>  соответственно?

Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=15#linejnaja_recurrentnaja">справочнике</a>.

  а) Пусть <i>q</i> – натуральное число и функция   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>cq^x</i> + <i>a_nxⁿ</i> + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₀  принимает целые значения при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.

Докажите, что при любом натуральном <i>x</i> число  <i>f</i>(<i>x</i>) также будет целым.

  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  <i>f</i>(<i>x</i>) делится на некоторое целое  <i>m</i> ≥ 1  при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.  Докажите, что  &l...

Пусть  α = (α₁, ..., α_<i>n</i>)  и  β = (β₁, ..., β_<i>n</i>)  – два набора показателей с равной суммой.

Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>  выполняется неравенство  <i>T</i>_α(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://...

Получите формулу для корня уравнения  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0:

    <i>x</i> = <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_2.gif"> + <img width="138" height="75" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61262/problem_61262_img_3.gif">.

Решите систему     <img width="20" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_2.gif"><img width="318" height="127" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61064/problem_61064_img_3.gif"> (<i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, <i>b</i>₁, ..., <i>b_n</i> – различные числа.)