Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» - сложность 1-2 с решениями

В турнире по волейболу <i>n</i> команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть <i>Р</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, <i>Q</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что  <i>P = Q</i>.

Найдите значение выражения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116618/problem_116618_img_2.gif"> .

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполнено неравенство  (<i>n</i> – 1)^<i>n</i>+1(<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1 < <i>n</i>^2<i>n</i>.

Петя выбрал натуральное число  <i>a</i> > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + <i>a</i>,  1 + <i>a</i>²,  1 + <i>a</i>³,  ...,  1 + <i>a</i>¹⁵.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что   <i>a</i>³ – <i>b</i>³ = 2,  <i>a</i>⁵ – <i>b</i>⁵ ≥ 4.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 2.

Найдите все такие тройки простых чисел <i>p, q, r</i>, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.

Сколько существует таких натуральных <i>n</i>, не превосходящих 2012, что сумма  1^<i>n</i> + 2^<i>n</i> + 3^<i>n</i> + 4^<i>n</i>  оканчивается на 0?

Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и  <i>xy + yz + zx</i> = 1.  Докажите, что число  (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²)  является квадратом натурального числа.

Прямая пересекает график функции  <i>y = x</i>²  в точках с абсциссами <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i>₃. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .

На рисунке изображен график приведённого квадратного трёхчлена (ось ординат стёрлась, расстояние между соседними отмеченными точками

равно 1). Чему равен дискриминант этого трёхчлена? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116482/problem_116482_img_2.gif"></div>

Вычислите:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116475/problem_116475_img_2.gif">

Известно, что выражения  4<i>k</i> + 5  и  9<i>k</i> + 4  при некоторых натуральных значениях <i>k</i> одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение  7<i>k</i> + 4  при тех же значениях <i>k</i>?

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>²<i>y</i> – <i>y</i>²<i>x</i>,  если  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1  и  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1.

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения <i>P</i>(2) и <i>P</i>(<i>P</i>(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.

Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100¹⁰⁰ ?

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов  <i>x</i>²⁰¹¹ + 2011<i>x</i> – 1  и  <i>x</i>²⁰¹¹ – 2011<i>x</i> + 1.

Существуют ли такие целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, для которых выполняется равенство:  (<i>x – y</i>)³ + (<i>y – z</i>)³ + (<i>z – x</i>)³ = 2011?

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, при котором число  <i>А = n</i>³ + 12<i>n</i>² + 15<i>n</i> + 180  делится на 23.

Известно, что  5(<i>а</i> – 1) = <i>b + a</i>².  Сравните числа <i>а</i> и <i>b</i>.

Докажите, что ни при каких натуральных значениях <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>⁸ – <i>x</i>⁷<i>y + x</i>⁶<i>y</i>² – ... – <i>xy</i>⁷ + <i>y</i>⁸  не является простым.