Задача № 216617
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 11 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 176506
Разделить a2k – b2k на (a + b)(a² + b²)(a4 + b4)...(a2k–1 + b2k–1).
Задача № 161538
Найдите коэффициент при x у многочлена (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).
Задача № 161522
Докажите следующие свойства функций gk,l(x) (определения функций gk,l(x) смотри здесь): а) gk,l(x) = , где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1); б) gk,l(x) = gl,k(x); в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x); г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x); д) gk,l(x) – многочлен степени kl. Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
Задача № 161521
Вычислите функции gk,l(x) при 0 ≤ k + l ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами. Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Задача № 161078
Докажите равенство (a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av – bu)2.