Задача № 216617
Найдите все пары (p, q) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216599
Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство (n – 1)n+1(n + 1)n–1 < n2n.
Задача № 216534
Известно, что x, y и z – целые числа и xy + yz + zx = 1. Докажите, что число (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) является квадратом натурального числа.
Задача № 216450
Делится ли число 2110 – 1 на 2200?
Задача № 216445
Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня?
Задача № 215968
Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна 2011. Сколько корней имеет уравнение ax² + 2bx + 4c = 0?
Задача № 215452
Известно, что при любом положительном значении р все корни уравнения (с переменной x ) ах2-3х+р = 0положительны. Докажите, чтоа= 0.
Задача № 211255
Графики функций у = х² + ах + b и у = х² + сх + d пересекаются в точке с координатами (1, 1). Сравните а5 + d6 и c6 – b5.
Задача № 197934
p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство: p(a) – p(b) = 1. Докажите, что a и b различаются на 1.
Задача № 178698
Найти все натуральные числа x, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа x можно вычесть одну и ту же цифру a ≠ 0 (все цифры его не меньше a) и при этом получится (x − a)².
Задача № 178290
Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.
Задача № 176506
Разделить a2k – b2k на (a + b)(a² + b²)(a4 + b4)...(a2k–1 + b2k–1).
Задача № 164822
Решите уравнение: x(x + 1) = 2014·2015.
Задача № 161538
Найдите коэффициент при x у многочлена (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).
Задача № 161522
Докажите следующие свойства функций gk,l(x) (определения функций gk,l(x) смотри здесь): а) gk,l(x) = , где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1); б) gk,l(x) = gl,k(x); в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x); г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x); д) gk,l(x) – многочлен степени kl. Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
Задача № 161521
Вычислите функции gk,l(x) при 0 ≤ k + l ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами. Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Задача № 161078
Докажите равенство (a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av – bu)2.
Задача № 160294
Докажите, что для любого натурального n 62n+1 + 1 делится на 7.
Задача № 160290
Докажите, что для любого натурального n 10n + 18n – 1 делится на 27.
Задача № 134848
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x² – 3x + 1)100 после раскрытия скобок и приведения подобных членов.