Задача № 216402
Обозначим через [n]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего n сомножителей, в последнем – n единиц. Докажите, что [n + m]! делится на произведение [n]!·[m]!.
Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209169
Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел y, удовлетворяющих условию |y + 1/y| = .
Задача № 185241
Докажите следующие равенства: а) б) в)
Задача № 177966
Докажите, что ни при каком целом A многочлен 3x2n + Axn + 2 не делится на многочлен 2x2m + Axm + 3.
Задача № 167197
Дан многочлен степени с целыми коэффициентами, имеющий различных целых корней. Докажите, что многочлен имеет различных действительных корней.
Задача № 161277
Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.
Задача № 161197
Пусть u – точка на единичной окружности z = 1 и u1, u2, u3 – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 вписанного в эту окружностьтреугольника a1a2a3. а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.
Задача № 161190
Докажите, что cтепень точки w относительно окружности Azz + Bz – B z + C = 0 равна
Задача № 161188
Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Задача № 161185
Докажите, что уравнение Azz + Bz – B z + C = 0 при отображениях w = z + u и w = R/z переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу 161183).
Задача № 161183
Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Задача № 161161
Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида с δ = ad – bc ≠ 0 может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида w = R/z.
Задача № 161157
Найдите а) образ окружности |z – a – bi| = при отображении w = 1/z; б) образ окружности |z – a| = R при отображении w = .
Задача № 161156
Куда переходит полоса 2 < Re z < 3 при отображениях: а) w = z–1; б) w = (z – 2)–1; в) w = (z – 5/2)–1?
Задача № 161155
Постройте образ квадрата с вершинами A(0, 0), B(0, 2), C(2, 2), D(2, 0) при следующих преобразованиях: а) w = iz; б) w = 2iz – 1; в) w = z²; г) w = z–1.
Задача № 161154
Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос: причём в первом случае вектор a параллелен прямой A1A2, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A1A2 и k = k1k2. Здесь обозначает гомотетию с центром в A с коэффициентом k.
Задача № 161152
Выразите в виде w = f(z) следующие геометрические преобразования: а) б) в) г) ; д) е) Здесь использованы следующие обозначения: – гомотетия с центром в точкеAи коэффициентомk; Tz– параллельный перенос на векторOz; – поворот относительно точкиAна угол φ; точка O= (0, 0) – начало координат.
Задача № 161147
Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения. Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) = a²(x) + b²(x).
Задача № 161145
Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство
Задача № 161144
Докажите, что все корни уравнения a(z – b)n = c(z – d )n, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.
Задача № 161143
Найдите все корни уравнения (z – 1)n = (z + 1)n. Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?
Задача № 161140
При каких n многочлен (x + 1)n – xn – 1 делится на: а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
Задача № 161139
При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на: а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
Задача № 161136
Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α1, ..., αn. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α1, ..., αn на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
Задача № 161135
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
1–25 из 53