Задача № 161195
Докажите, что точка m = 1/3 (a1 + a2 + a3) является точкой пересечения медиан треугольника a1a2a3.
Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 11 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 161178
Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и z2 – это геометрическое место точек z, для которых = .
Задача № 161177
z2, z1, z0 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда – вещественное число, или = .
Задача № 161176
Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке z0 и проходящими через точки z1 и z2, равен аргументу отношения
Задача № 161175
Пусть z1 и z2 – фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек z, удовлетворяющих соотношениям: а) arg = 0; б) arg = 0.
Задача № 161089
Докажите, что числа wk (k = 0, ..., n – 1), являющиеся корнями уравнения wn = z, при любом z ≠ 0 располагаются в вершинах правильного n-угольника.
Задача № 161081
Решите в комплексных числах следующие квадратные уравнения:   а) z2 + z + 1 = 0; б) z2 + 4z + 29 = 0; в) z2 – (2 + i)z + 2i = 0; г) z2 – (3 + 2i)z + 6i = 0; д) z2 – (3 – 2i)z + 5 – 5i = 0; е) z2 – (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0.
Задача № 161080
Вычислите   а) ;   б) в) ; г) ; д) ; е) .
Задача № 161079
Докажите, что квадратные корни из комплексного числа z = a + ib находятся среди чисел w = ± ± i . Как нужно выбрать знак перед вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа?
Задача № 161078
Докажите равенство (a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av – bu)2.
Задача № 161075
Докажите, что для произвольных комплексных чисел z> и w выполняется равенство |z + w|2 + | z – w|2 = 2(|z|2 + |w|2). Какой геометрический смысл оно имеет?
Задача № 161072
Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости: а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси; б) первый квадрант, не включая координатных осей; в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 2; г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке O, расположенный не выше действительной оси.
Задача № 161071
Найдите min |3 + 2i – z| при |z| ≤ 1.
Задача № 161069
Представьте в тригонометрической форме числа: а) 1 + i; б) 2 + + i; в) 1 + cos φ + isin φ; г) sin π/6 + isin π/6; д) .
Задача № 161068
Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств: а) |z + w| ≤ |z| + |w|; б) |z – w| ≥ ||z| – |w||; в) |z – 1| ≤ |arg z|, если |z| = 1.
Задача № 161067
Докажите равенства: а) z + = 2Re z; б) z – = 2i Im z; в) z = |z|2.
Задача № 161066
Докажите равенства: а) б) в) г) д)
Задача № 161065
Пусть z = x + iy, w = u + iv. Найдите а) z + w; б) zw; в) z/w.