Задача № 216928
Решите уравнение: .
Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» - сложность 1-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216865
На доске записан ряд из чисел и звёздочек: 5, *, *, *, *, *, *, 8. Замените звёздочки числами так, чтобы сумма каждых трёх чисел, стоящих подряд, равнялась 20.
Задача № 216854
Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?
Задача № 216558
Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Задача № 216540
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
Задача № 216451
Какие значения может принимать выражение (x – y)(y – z)(z – x), если известно, что ?
Задача № 216439
Найдите все неотрицательные решения системы уравнений: x³ = 2y² – z, y³ = 2z² – x, z³ = 2x² – y.
Задача № 215457
Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?
Задача № 210096
Набор чиселa0,a1, ...,anудовлетворяет условиям: a0= 0, 0 ≤ak+1–ak≤ 1 при k= 0, 1, ...,n– 1. Докажите неравенство
Задача № 210087
Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0, ak+1 ≥ ak + 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство
Задача № 210081
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x. Докажите, что ad = bc.
Задача № 209946
Решите уравнение {(x + 1)³} = x³.
Задача № 209733
Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?
Задача № 209665
Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?
Задача № 209592
Известно, что уравнение ax5 + bx4 + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx5 + bx + a = 0 также имеет три различных корня.
Задача № 209581
Уравнение x² + ax + b = 0 имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x4 + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0 имеет четыре различных действительных корня.
Задача № 209538
Решите в положительных числах систему уравнений
Задача № 209484
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Задача № 209440
Решите уравнение: (x³ – 2)(2sin x – 1) + (2x³ – 4) sin x = 0.
Задача № 209166
Решить уравнение (x² – x + 1)4 – 10x²(x² – x + 1)² + 9x4 = 0.
Задача № 209038
Решить систему уравнений 1 − x1x2x3 = 0, 1 + x2x3x4 = 0, 1 − x3x4x5 = 0, 1 + x4x5x6 = 0, ... 1 − x47x48x49 = 0, 1 + x48x49x50 = 0, 1 − x49x50x1 = 0, 1 + x50x1x2 = 0.
Задача № 209027
Найти все действительные решения системы уравнений x² + y² + z² = 1, x³ + y³ + z³ = 1.
Задача № 209024
Решить систему уравнений: x1 + 12x2 = 15, x1 – 12x2 + 11x3 = 2, x1 – 11x3 + 10x4 = 2, x1 – 10x4 + 9x5 = 2, x1 – 9x5 + 8x6 = 2, x1 – 8x6 + 7x7 = 2, x1 – 7x7 + 6x8 = 2, x1 – 6x8 + 5x9 = 2, x1 – 5x9 + 4x10 = 2, x1 – 4x10 + 3x11 = 2, x1 – 3x11 + 2x12 = 2, x1 – 2x12 = 2.
Задача № 209011
Найти решение системы x4 + y4 = 17, x + y = 3.
Задача № 208989
Решить систему уравнений
1–25 из 206