Задача № 216928
Решите уравнение: .
Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» - сложность 1-3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216865
На доске записан ряд из чисел и звёздочек: 5, *, *, *, *, *, *, 8. Замените звёздочки числами так, чтобы сумма каждых трёх чисел, стоящих подряд, равнялась 20.
Задача № 216854
Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?
Задача № 216558
Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Задача № 216540
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
Задача № 216451
Какие значения может принимать выражение (x – y)(y – z)(z – x), если известно, что ?
Задача № 216439
Найдите все неотрицательные решения системы уравнений: x³ = 2y² – z, y³ = 2z² – x, z³ = 2x² – y.
Задача № 215457
Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?
Задача № 210096
Набор чиселa0,a1, ...,anудовлетворяет условиям: a0= 0, 0 ≤ak+1–ak≤ 1 при k= 0, 1, ...,n– 1. Докажите неравенство
Задача № 210087
Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0, ak+1 ≥ ak + 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство
Задача № 210081
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x. Докажите, что ad = bc.
Задача № 209946
Решите уравнение {(x + 1)³} = x³.
Задача № 209592
Известно, что уравнение ax5 + bx4 + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx5 + bx + a = 0 также имеет три различных корня.
Задача № 209581
Уравнение x² + ax + b = 0 имеет два различных действительных корня. Докажите, что уравнение x4 + ax³ + (b – 2)x² – ax + 1 = 0 имеет четыре различных действительных корня.
Задача № 209538
Решите в положительных числах систему уравнений
Задача № 209484
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Задача № 209440
Решите уравнение: (x³ – 2)(2sin x – 1) + (2x³ – 4) sin x = 0.
Задача № 209166
Решить уравнение (x² – x + 1)4 – 10x²(x² – x + 1)² + 9x4 = 0.
Задача № 209038
Решить систему уравнений 1 − x1x2x3 = 0, 1 + x2x3x4 = 0, 1 − x3x4x5 = 0, 1 + x4x5x6 = 0, ... 1 − x47x48x49 = 0, 1 + x48x49x50 = 0, 1 − x49x50x1 = 0, 1 + x50x1x2 = 0.
Задача № 209027
Найти все действительные решения системы уравнений x² + y² + z² = 1, x³ + y³ + z³ = 1.
Задача № 209024
Решить систему уравнений: x1 + 12x2 = 15, x1 – 12x2 + 11x3 = 2, x1 – 11x3 + 10x4 = 2, x1 – 10x4 + 9x5 = 2, x1 – 9x5 + 8x6 = 2, x1 – 8x6 + 7x7 = 2, x1 – 7x7 + 6x8 = 2, x1 – 6x8 + 5x9 = 2, x1 – 5x9 + 4x10 = 2, x1 – 4x10 + 3x11 = 2, x1 – 3x11 + 2x12 = 2, x1 – 2x12 = 2.
Задача № 209011
Найти решение системы x4 + y4 = 17, x + y = 3.
Задача № 208989
Решить систему уравнений
Задача № 208979
Решить систему уравнений с n неизвестными
Задача № 207770
Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.
1–25 из 197