В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Наnкарточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которыхравно 1или –1.За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всехn чисел,если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел наа) любыхтрёх карточках;б) любыхтрёх карточках, лежащих подряд? (Здесьn —натуральное число,большее 3).
Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней.
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1. Пусть S – наибольшее из чисел Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:**** – ****.Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый; б) первый может называть цифры...
а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье? б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством? в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 1...
Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это. б) Из любых 2n – 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы. а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены. б) Докажите, что можно взять c = 4. в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3. г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности. б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.