Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.
B треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности. Прямая a проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины A, и параллельна OA. Aналогично определяются прямые b и c. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.
Имеются две параллельные прямые p1 и p2. Точки A и B лежат на p1, а C – на p2. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках: а) точками пересечения высот; б) точками пересечения медиан; в) центрами описанных окружностей.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.
Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.
Имеется треугольник и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник окружности.
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A1, A2 симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A1A2 как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.
Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1. а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.
Около треугольника ABC описали окружность. A1 – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Из точек A1, B1, C1 опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.