Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .
Вписанная в тетраэдр ABCD сфера касается его граней ABC , ABD , ACD и BCD в точках D1 , C1 , B1 и A1 соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки A и плоскости B1C1D1 и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр ABCD .
На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью. Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает. Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.
Точка – ортоцентр треугольника . Стороны треугольника проходят через середины сторон треугольника и перпендикулярны соответствующим биссектрисам . Вершины треугольника являются серединами биссектрис треугольника . Докажите, что прямые, соединяющие с вершинами треугольника перпендикулярны сторонам треугольника .