Задача № 198059
Существует ли выпуклый многогранник, одно из сечений которого – треугольник (сечение не проходит через вершины), и в каждой вершине сходятся а) не меньше пяти рёбер, б) ровно пять рёбер?
Гальперин Г. А.
82 задачЗадача № 198053
Какое минимальное количество точек на поверхности а) додекаэдра, б) икосаэдра надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?
Задача № 198034
Числа 21989 и 51989 выписали одно за другим (в десятичной записи). Сколько всего цифр выписано?
Задача № 198024
Решить в натуральных числах уравнение:
Задача № 197981
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани. Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Задача № 197893
Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.
Задача № 197815
Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321. а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары  ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара). б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.
Задача № 197780
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ... Существует ли арифметическая прогрессия а) длины 5; б) сколь угодно большой длины, составленная из членов этой последовательности?
Задача № 179261
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
Задача № 173787
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника. в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
Задача № 173665
Какое наибольшее число точек можно разместитьa) наплоскости;б)* впространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
Задача № 173650
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
Задача № 173581
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?
Задача № 173545
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Задача № 167166
На доске написаны две суммы: 1 + 22 + 333 + 4444 + 55555 + 666666 +7777777 + 88888888 + 999999999 9 + 98 + 987 + 9876 + 98765 + 987654 + 9876543 + 98765432 + 987654321 Определите, какая из них больше (или они равны).
Задача № 166835
Отрезки и с концами на сторонах остроугольного треугольника пересекаются в точке внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку . Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что – точка пересечения высот треугольника .
Задача № 166641
Известно, что если у правильного -угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин. А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы а) произвольного куба; б) произвольного правильного тетраэдра? (Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была рав...
Задача № 166333
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3 : 4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?
Задача № 166173
a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел. б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.
Задача № 165853
Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2n начинается числом 5k, а десятичная запись числа 5n начинается числом 2k?
Задача № 165849
Существует ли такое натуральное n, что десятичная запись числа 2n начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5n начинается цифрой 2?
Задача № 165841
Имеется выпуклый многогранник со 100 рёбрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника a) число вершин; б) число рёбер.
Задача № 165819
Дан отрезок длины Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?
Задача № 165813
Дан треугольник ABC. Точки M1, M2, M3 – середины сторон AB, BC и AC, a точки H1, H2, H3 – основания высот, лежащие на тех же сторонах. Докажите, что из отрезков H1M2, H2M3 и H3M1 можно построить треугольник.
Задача № 165583
Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.
Задача № 165573
Все натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр в каждой. Докажите, что любое семизначное число a) встретится хотя бы на одной из полосок; б) встретится на бесконечном числе полосок.
Задача № 165412
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда 3×4×5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем параллелепипед, равнялась 120?
Задача № 165401
Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.
Задача № 164853
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Задача № 164516
Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа х1 = а и х2 = b. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: xn = O(хn–1 + хn–2), где n = 3, 4, ... . а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу. б) Как найти это число, зная числа a и b?
Задача № 164515
На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.
Задача № 164509
В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины. Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.
Задача № 155195
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Задача № 155126
Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник. а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равны? б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?