Задача № 216194
Bнутри треугольника ABC выбрана произвольная точка M. Докажите, что MA + MB + MC ≤ max {AB + BC, BC + AC, AC + AB}.
Седракян Н.
14 задачЗадача № 208223
Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .
Задача № 208044
Вершины правильного треугольника расположены на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что эти треугольник и шестиугольник имеют общий центр.
Задача № 198148
В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата). Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.
Задача № 198071
В клетках доски n×n произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на n + 1.
Задача № 198016
Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100. Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).
Задача № 197930
Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется а) четыре, б) пять таких, в которые можно вписать окружность?
Задача № 166838
Точка лежит внутри выпуклого четырёхугольника на одинаковом расстоянии от прямых и и на одинаковом расстоянии от прямых и . Оказалось, что площадь четырёхугольника равна . Докажите, что четырёхугольник а) вписанный; б) описанный.
Задача № 166828
Два остроугольных треугольника и таковы, что точки и лежат на стороне , а точка – внутри треугольника ABC. Пусть и – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что .
Задача № 166742
Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.
Задача № 166732
Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно больше 30°. Каково наибольшее возможное значение ?
Задача № 166726
Докажите, что а) любое число вида 3k – 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел; б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.
Задача № 166721
В треугольнике точка – середина стороны , точка лежит внутри стороны , . Докажите, что треугольник тупоугольный.
Задача № 165865
Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q?