Задача № 209635
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
Купцов Л.
8 задачЗадача № 209516
Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.
Задача № 208196
Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D, а прямую AB – в точке M (MB < MA, MD < MC). Пусть K – отличная от O точка пересечения описанных окружностей треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.
Задача № 155782
На плоскости расположены три окружности Ω1, Ω2, Ω3 радиусов r1, r2, r3 соответственно – каждая вне двух других, причём r1 > r2 и r1 > r3. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω1 и Ω2 проведены касательные к окружности Ω3, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω1 и Ω3 проведены касательные к окружности Ω2. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.
Задача № 155377
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA ( = = = k; ADB = BEC = CFA = ). Докажите, что: 1) середины отрезков AC, DC, BC и EF — вершины параллелограмма; 2) у этого параллелограмма два угла равны , а отношение сторон равно k.
Задача № 155134
Два треугольника A1B1C1 и A2B2C2, площади которых равны соответственно S1 и S2, расположены так, что лучи A1B1 и A2B2, B1C1 и B2C2, C1A1 и C2A2 противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A1A2, B1B2, C1C2.
Задача № 153366
На сторонах AB и BC треугольника ABC как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники APB и BQC с одинаковыми углами величины φ при их общей вершине B. Найдите углы треугольника PQK, где K – середина стороны AC.
Задача № 152505
Дан правильный треугольник ABC. Некоторая прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответственно. Точка D — центр правильного треугольника PMB, точка E — середина отрезка AP. Найдите углы треугольника DEC.