Задача № 208224
Дан параллелограмм ABCD (AB < BC). Докажите, что описанные окружности треугольников APQ для всевозможных точек P и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что CP = CQ, имеют общую точку, отличную от A.
Емельянов Л. А.
90 задачЗадача № 208222
Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1так, что AB=AB1, при этом B1и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность, вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая кв точке Q , параллельна AC .
Задача № 208218
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы lA , lB , lC , lD внешних углов этого четырёхугольника. Прямые lA и lB пересекаются в точке K , прямые lB и lC – в точке L , прямые lC и lD – в точке M , прямые lD и lA – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.
Задача № 208216
Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' , C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD .
Задача № 208212
Три окружности ω1, ω2 и ω3 радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним образом окружности ω радиуса R (R > r) в точках T1, T2 и T3 соответственно. Докажите, что прямая T1T2 проходит через вторую (отличную от S) точку пересечения окружностей ω1 и ω2.
Задача № 208210
В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0, B0и C0соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0– равнобедренный.
Задача № 208148
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку N . Окружности, описанные около треугольников BQK и BPM , пересекаются в точке B1. Докажите, что BPB1Q – параллелограмм.
Задача № 208144
В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём AM = CN, Q – точка пересечения отрезков AN и CM. Докажите, что DQ – биссектриса угла D.
Задача № 208138
Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.
Задача № 208135
На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O1, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O2, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если O1A = O2A, то треугольник ABC равнобедренный.
Задача № 208123
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.
Задача № 208119
Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты остроугольного треугольника ABC, OA, OB, OC – центры вписанных окружностей треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно; TA, TB, TC – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника TAOCTBOATCOB равны. Также доступны документы в формате TeX
Задача № 203930
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.
Задача № 203914
Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.
Задача № 198565
Существует ли правильная треугольная призма, которую можно оклеить (без наложений) различными равносторонними треугольниками? (Разрешается перегибать треугольники через рёбра призмы.)
Задача № 198473
Докажите неравенство при любых натуральных n и k.
Задача № 198463
Вневписанные окружности касаются сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и L. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB, а) делит периметр треугольника ABC пополам; б) параллельна биссектрисе угла ACB.
Задача № 167366
В остроугольном треугольнике – ортоцентр; , , – точки касания вписанной окружности с , , соответственно; , , – середины , , соответственно; окружность с центром , проходящая через , повторно пересекает биссектрису угла в точке ; точки , определены аналогично. Докажите, что треугольники и подобны.
Задача № 167359
В остроугольном треугольнике – медиана, – проекция ортоцентра на биссектрису угла . Докажите, что делит отрезок пополам.
Задача № 167337
В треугольнике вписанная окружность касается сторон , , в точках , и соответственно, – произвольная точка этой окружности. Прямая вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке . Аналогично строятся точки и . Докажите, что описанная около треугольника окружность касается .
Задача № 167290
Точка – центр вписанной окружности треугольника , а – точка касания этой окружности со стороной . Пусть и – ортоцентры треугольников и . Докажите, что точки , , лежат на одной прямой.
Задача № 167119
Окружности и пересекаются в точках и . Через точку проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках и . Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой принимает наибольшее значение.
Задача № 167099
Дан треугольник . Прямая касается его вписанной окружности в точке , а вневписанной, касающейся стороны , – в точке . Аналогично определяются точки , , , , , , , , , . Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников , , , . а) Какое наибольшее число различных может быть среди них? б) Найдите все возможные количества различных длин.
Задача № 167097
В выпуклом четырехугольнике точки , , , – середины сторон , , , соответственно. Отрезки , , , , пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что – параллелограмм?
Задача № 166946
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми , , симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
Задача № 166873
Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
Задача № 166812
Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.
Задача № 166708
Правильный треугольник, лежащий в плоскости , ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость , полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость и получили снова правильный треугольник. Докажите, что а) угол между плоскостями и равен углу между плоскостями и ; б) плоскость пересекает плоскости и по перпендикулярным друг другу прямым.
Задача № 165944
Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.
Задача № 165935
Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С, обозначив меньшую через S1, среднюю – S2, а большую – S3. Докажите, что где S – площадь треугольника А1В1С1.
Задача № 165933
Квадрат разрезали на n прямоугольников размером ai×bi, i = 1, ..., n. При каком наименьшем n в наборе {a1, b1, ..., an, bn} все числа могут оказаться различными?
Задача № 165803
В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно. Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
Задача № 165790
На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Задача № 165463
Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника; б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.
Задача № 165129
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
Задача № 165114
В неравнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы угла ABC и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую AC в точках B1 и B2 соответственно. Из точек B1 и B2 провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник ABC, отличные от прямой AC. Они касаются ω в точках K1 и K2 соответственно. Докажите, что точки B, K1 и K2 лежат на одной прямой.
Задача № 165085
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
Задача № 165075
Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D – в точке Q, отличной от P. Докажите, что если отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.
Задача № 164983
Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности, касающейся сторон AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Точки A', B', C', D' – середины отрезков LM, MN, NK, KL. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми AA', BB', CC', DD', – вписанный.
Задача № 164619
В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то AB = CD.
Задача № 164357
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 – в точке B2. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A2B2C2.
Задача № 137004
В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.