Задача № 167204
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны , , , , . Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Евдокимов М. А.
156 задачЗадача № 167202
Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?
Задача № 167199
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Задача № 167193
На плоскости даны две окружности и , касающиеся внешним образом. На окружности выбран диаметр , а на окружности выбран диаметр . Рассмотрим всевозможные положения точек , , и , при которых — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек .
Задача № 167192
На экране суперкомпьютера напечатано число ( единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде , где состоит из двух его последних цифр, и заменяется на (если начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, заменяется на . Если на экране остаётся число, меньшее , то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?
Задача № 167178
На столе в ряд стоят шкатулки, в одной из которых находится приз. На каждой шкатулке написано либо «Здесь приза нет», либо «Приз в соседней шкатулке». Известно, что ровно одно из этих утверждений правдиво. Что написано на средней шкатулке?
Задача № 167177
Даны три различных ненулевых числа. Петя и Вася составляют квадратные уравнения, подставляя эти числа в качестве коэффициентов, но каждый раз в новом порядке. Если у уравнения есть хотя бы один корень, то Петя получает фантик, а если ни одного, то фантик достаётся Васе. Первые три фантика достались Пете, а следующие два — Васе. Можно ли определить, кому достанется последний, шестой фантик?
Задача № 167176
У царя есть 7 мешков с золотыми монетами, в каждом по 100 монет. Царь помнит, что в одном мешке все монеты весят 7 г, во втором 8 г, в третьем 9 г, в четвёртом 10 г, в пятом 11 г, в шестом 12 г, в седьмом 13 г, но не помнит, где какие. Царь сообщил это придворному мудрецу и указал на один из мешков. Мудрец может вынимать из этого и из других мешков любое количество монет, но на вид они все одинаковы. Однако у мудреца есть большие двухчашечные весы без гирь (они точно покажут, равны ли веса на чашках, а если нет, то какая чашка тяжелее). Может ли мудрец определить, какие монеты в указанном мешк...
Задача № 167172
Аня называет дату красивой, если все 6 цифр её записи различны. Например, 19.04.23 — красивая дата, а 19.02.23 и 01.06.23 — нет. А сколько всего красивых дат в 2023 году?
Задача № 167159
Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида ² + = 0, где и – натуральные числа, не превосходящие 100?
Задача № 167145
Можно ли раскрасить все натуральные числа, большие 1, в три цвета (каждое число – в один цвет, все три цвета должны использоваться) так, чтобы цвет произведения любых двух чисел разного цвета отличался от цвета каждого из сомножителей?
Задача № 167144
Пятиугольник описан около окружности. Углы при его вершинах , и равны . Найдите угол .
Задача № 167140
Таня взяла список из ста чисел 1, 2, 3, . . . , 100 и вычеркнула несколько из них. Оказалось, что какие бы два числа из оставшихся Таня ни взяла в качестве и , уравнение имеет хотя бы один действительный корень. Какое наибольшее количество чисел могло остаться не вычеркнутым?
Задача № 167139
Коттеджный посёлок имеет размеры 𝑛 × 𝑚 одинаковых квадратных участков. Собственники по очереди начали огораживать свои участки забором. Стоимость части забора между любыми двумя соседними участками составила 10 тысяч рублей и её полностью нёс тот сосед, который огораживал свой участок первым (расходы не делились между соседями, то есть некоторые могли вообще ничего не потратить). В итоге все участки оказались огорожены забором с четырёх сторон. Могло ли оказаться, что в итоге поровну жителей потратило на забор по 0, 10, 30 и 40 тысяч рублей, а остальные — по 20 тысяч?
Задача № 167085
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной а) не более ; б) не более ?
Задача № 167080
В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям и ) нарисовали график функции . Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если а) ; б) = logax, где > 1 – неизвестное число.
Задача № 167078
На доске написана функция sin + cos . Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных некоторой константе . Чему может равняться ?
Задача № 167055
Мудрецам сообщили, что числа 1, 2, ..., 12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее. : "На одной из моих карточек – число 8". : "Все числа на моих карточках простые". : "А все числа на моих – составные, причём имеют общий простой делитель". : "Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас". Какие карточки у , если все сказали правду?
Задача № 167040
У пирата есть пять мешочков с монетами, по 30 монет в каждом. Он знает, что в одном лежат золотые монеты, в другом – серебряные, в третьем – бронзовые, а в каждом из двух оставшихся поровну золотых, серебряных и бронзовых. Можно одновременно достать любое число монет из любых мешочков и посмотреть, что это за монеты (вынимаются монеты один раз). Какое наименьшее число монет нужно достать, чтобы наверняка узнать содержимое хотя бы одного мешочка?
Задача № 167035
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?
Задача № 167031
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более ?
Задача № 167029
В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям и ) нарисовали график показательной функции . Затем ось и все отметки на оси стёрли. Остались лишь график функции и ось без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось ?
Задача № 167008
16 карточек с целыми числами от 1 до 16 разложены лицевой стороной вниз в виде таблицы так, что карточки, на которых записаны соседние числа, лежат рядом (соприкасаются по стороне). Какое наименьшее число карточек нужно одновременно перевернуть, чтобы наверняка определить местоположение всех чисел (как бы ни были разложены карточки)?
Задача № 167001
Луноход ездит по поверхности планеты, имеющей форму шара с длиной экватора 400 км. Планета считается полностью исследованной, если луноход побывал на расстоянии по поверхности не более 50 км от каждой точки поверхности и вернулся на базу (в исходную точку). Может ли луноход полностью исследовать планету, преодолев не более 600 км?
Задача № 166996
На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток?
Задача № 166899
Число составное. Докажите, что если вписать в числе сколько угодно восьмёрок между и , тоже получится составное число.
Задача № 166898
Пусть – центр описанной окружности остроугольного треугольника , точка – середина стороны . Прямая пересекает высоты и в точках и соответственно. Описанные окружности треугольников и вторично пересекаются в точке . Докажите, что лежит на прямой .
Задача № 166879
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?
Задача № 166860
Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной, не большей 1, а другой – со стороной, не меньшей 100?
Задача № 166856
У Пети есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Он выбирает из неё половину карт (какие хочет) и отдаёт Васе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди выкладывают на стол по одной карте (по своему выбору, в открытом виде); начинает Петя. Если в ответ на ход Пети Вася смог выложить карту той же масти или того же достоинства, Вася зарабатывает 1 очко. Какое наибольшее количество очков он может гарантированно заработать?
Задача № 166851
Существует ли число, кратное 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?
Задача № 166841
Карта Квадрландии представляет собой квадрат 6×6 клеток. Каждая клетка – либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (то есть клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств?
Задача № 166821
У Васи есть неограниченный запас брусков 1×1×3 и уголков из трёх кубиков 1×1×1. Вася целиком заполнил ими коробку m×n×k, где – целые числа, большие 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.
Задача № 166768
Сфера единичного радиуса касается всех ребер некоторой треугольной призмы. Чему может быть равен объем этой призмы? Ответ округлите до сотых.
Задача № 166766
Найдите трехзначное число, которое представимо в виде суммы и двух, и трех, и четырех, и пяти, и шести квадратов различных натуральных чисел. Достаточно привести один пример.
Задача № 166763
У золотоискателя есть куча золотого песка массой 37 кг (и больше песка у него нет), двуxчашечные весы и две гири 1 и 2 кг. Золотоискатель умеет делать действия двух типов: уравнивать весы, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может пересыпать часть песка с одной чаши на другую так, чтобы весы встали в равновесие; досыпать до равновесия, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может добавить песка на одну из чаш так, чтобы весы встали в равновесие. Конечно, каждое из этих действий он может сделать только если для этого у него хватает песка. Как ему за два действия с весами п...
Задача № 166756
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1? б) А квадрат площади 1/2019?
Задача № 166745
Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает семь различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?
Задача № 166740
Расстояние от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого шестиугольника?
Задача № 166718
В параллелограмме угол острый. На стороне отмечена такая точка , что . Оказалось, что описанная окружность треугольника касается прямой . Докажите, что она касается её в точке .
Задача № 166715
Назовём девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере а) 1000; б) 2018 красивых чисел, каждое из которых делится на 37.
Задача № 166713
Клетчатый прямоугольник размера 7×14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2×2 и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться а) столько же, сколько уголков; б) больше, чем уголков?
Задача № 166711
Окружность, проходящая через вершину прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника , пересекает катеты этого треугольника в точках и . Оказалось, что . Докажите, что и — середины катетов треугольника .
Задача № 166695
Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка. Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?
Задача № 166621
На конференции присутствовали представители двух конкурирующих фирм “Индекс” и “Зугл” Алексей, Борис и Владимир. Представители одной и той же компании всегда говорят правду друг другу и врут конкурентам. Алексей сказал Борису: «Я из фирмы “Индекс”». Борис ответил: «О! Вы с Владимиром работаете в одной фирме!». Можно ли по этому диалогу определить, где работает Владимир?
Задача № 166612
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
Задача № 166609
Пусть . Вычислите
Задача № 166605
Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на 2, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на 3 — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, ..., делится на 9, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.